从分形几何理解金融市场，应对魔鬼巨浪

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塞思·卡拉曼在他的《安全边际》一书中曾经指出，成功的关键是理解规则背后的基本原理，但是许多人却往往无法真正理解市场，理解市场规则背后的原理，尤其在市场非理性占主导的时候。理解市场规则的方法有许多，但是我最欣赏查理·芒格先生的多学科思维的方法。芒格认为，如果我们使用了多学科思维，即“格栅思维”来考虑一些问题，那么许多难题将迎刃而解。以下，我将引入分形几何学这一数学分支，试图解释一些金融市场的问题。

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象。这个对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，比如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。因为分形几何学研究对象普遍存在于自然界中，所以它又被称为“大自然的几何学”。

分形几何学源于20世纪70年代法国数学家本华·曼德勃罗的一个研究。那时他在探讨英国的海岸线有多长的问题。这个问题依赖于测量时所使用的尺度。若以公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；若改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

瑞典数学家赫尔吉·柯克从一个正方形的“岛屿”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“柯克岛屿”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。

曼德勃罗就是由此而开创了分形几何学的。简单的说，分形对象是由它们自身的很多缩小了的复制品组成的，所以它们在细节方面是自我重复的。分形对象可以是自然的产物，如树木、云彩和海岸线等。一个树枝看起来就大致如一颗缩小了的树木。再比如，生物体中动脉和静脉的分布形态本质上就是分形，它使得血液能够到达身体的每一处，同时避免动脉、静脉本身占据太多空间而使其他器官无容身之地。

在分形几何的世界里，如果在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。分形几何是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。

当我们将曼德勃罗理论引入金融市场的时候，可以说是对传统理论的一种颠覆。分形几何为我们描绘了一个与我们熟悉的金融市场完全不同的图像：开始时是平静的、一切都在有序的轨道上运行的混乱系统，然后被混乱的事件和股价的突然爆发所打断。在曼德勃罗的世界里，金融市场是一个混沌、无序、不确定和大量的统计怪物的中心，是纯粹的混沌世界。混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测。

传统理论认为，金融市场是一个受正态分布法则制约的世界。在股市，尽管存在极端的股价波动，但很少发生，有些像统计上的奇怪现象，与其说是现实的威胁，不如说是理论上的怪人秀。大多数股价波动在我们看来都好像属于“正常”的范围内，金融市场也会出现一个类似的、统计学的的正态分布，即有很多小幅度的股价波动，以及很少大的股价波动。因此，在传统理论看来，情况十分正常，貌似可以预测，并且可以掌控。

但是在曼德勃罗分形几何学的眼里，金融市场并非如此，恰恰相反，它们充满了涡流，其运动不是正态分布的，而是混乱和不可预测的。如果这种假设是正确的话，那么金融市场就比常规理论承认的要更具风险，而对这种狂暴的、没有约束的波动进行预测或多或少都是不可能的。事实上，以往的数据也证实了他的看法。在很多事件中，价格波动比我们在统计学的正态分布下可期待的、典型的小的和平均的价格变动要大十倍。

如果像传统理论假设的那样，这种价格变动是正态分布，那么这种事件出现的概率是几百万分之一，实际上是永远不会出现的，然而出现了诸如1987年10月美股崩盘事件和2015年7月A股崩盘事件，它的价格波动甚至不是十倍，而是大于平均价格波动的二十倍。我们还发现了太多类似的事件，仅仅在21世纪的头十年，就发生了网络泡沫、房地产危机和欧元区危机三大事件。依据传统理论观点，他们的出现，即使不是绝对不可能，也是不太可能的，可是它们最终却发生了。

在传统理论和实际运用中，人们把金融市场的突然爆发视为异常，认为那是特殊情况，是不正常的，所以把这些点排除在模型之外，其实这是一个很严重的错误。所谓的“百年一遇”的说法事实上并不合实际。某年遇到了一个“百年一遇”并不意味着下一个年度不会再遇到。明年发生同样的概率和前一年没有发生所推估的概率是完全一样的。假如经过了这次“百年一遇”之后，下次要再经过一百年才会遇到，显然并不可靠。恰恰相反，在“百年一遇”之后，紧接着就很有可能出现“千年一遇”。这些所谓的“百年一遇”或“千年一遇”不可能的事件在金融市场的研究中才是最重要的。它比那些没有或者很少有危机事件发生的日子更多的显露出金融市场的真实性。

海洋中有一种巨浪被称为“魔鬼巨浪”，这种巨浪高达20-30米，可以造成很多远洋巨轮的失踪。在很长时间里，人们认为这种巨浪只是一种稀有现象，一万年才会出现一次，有人甚至声称它在物理学上是绝对不可能的。但是我们现在知道，这种魔鬼巨浪不是稀有的，而是真实存在的。魔鬼巨浪能够通过曼德勃罗的思想得到解释。魔鬼巨浪不是一个独有的异常值，而是更经常发生的自然现象。船主相当于投资者，而魔鬼巨浪就是极端的股价偏离。如果这种极端情况经常出现的话，那么就意味着金融市场的投资者不是必须应对股市上常规的股价偏离，而是必须应对金融市场的魔鬼巨浪，应对不可置信的股价灾难。

对金融市场波动的研究证实了上述的观点。比如道琼斯指数实际的大波动，比人们在正态分布期待的股价大波动出现的频率要高2000倍。如果它是正态分布的话，那么像1987年的暴跌的现象应该是7000年才会出现一次。长期资本管理公司（LTCM）同样吃了这个亏。在一个对数正态分布中，偏离平均值5倍标准差的数据，在期望上需要7000年才能发生一次，然而却偏偏让LTCM赶上了。世界总是非线性的，分形无处不在。如果我们对此置若罔闻，系统性地低估了金融市场的风险规模，对自己的资产组合没有任何危急的防备措施，那么可能就会如同没有防备魔鬼巨浪的船只一样，瞬间被汹涌的大海所吞没。

对于个人投资者，正确理解金融市场的分形几何显然很有意义。在一个模型世界里，波动通常表现得非常温和，因为它们被平均的分配在了很多年份上。而金融市场的波动，包括巨大的波动通常都是集中在少数几天里。因此，金融市场比模型世界更加不可预期和不友好。如果某一天股价疯狂波动，那么在接下来的日子里动荡的概率就相当高了。如果认为股价波动在时间上是均匀分布的，那么这种想法就是错误的。它们堆积在某些特定的日子，也就是增强的涡流时间，在这期间股价比正常的波动更剧烈。

正确的时机在股市中发挥很大的作用，因为股价的波动不是系统性的分配在时间上的，而是堆积而来的。在某个期间发生重大事件，对股价波动真正非常重要的日子是相当有限的。这就是说，一个资产组合的价值成长的大部分是由很少的几天决定的。金融市场就是这样，有时堆积了很多的大事件，却只会引发很小的波动；有时只出现很少的小事件，却能够引发很大的波动。生物进化论研究也发现，因较小事件引发物种消失的数量是大灭绝中消失数量的两倍。并且整个过程震荡起伏相当随机，中间夹杂着许多戏剧性的事件。不需要一次重大的诱因，便能引发重大的事件。金融市场也是如此。比如，某个默默无闻的小市值股票发生崩盘，也能引发市场的大动荡，而许多人对此却无法理解。

盈利或损失并非均匀地分配在不同的年份，而是堆积在少数几天上的。如果错过了少数精选的日子，对投资者而言可能就是灾难的。富达基金的一项研究显示，如果过去15年在德国的股票市场投资，那么会得到每年大约7%的回报，但如果错过了最佳的10个股市交易日，那么只能得到1.7%的回报；如果错过了最佳的40天，就会亏损8%以上。如果在世界范围内投资，情况也没有变化。如果连续15年投资，那么可以得到6%的年回报；如果错过了最佳的10（40）天，那么只能得到2%（-4%）的年回报。

对此，可能只有两种办法：①相信自己能够在在几百个股市交易日中准确地找出那少数几个要进行投资或者必须远离股市的日子；②长期投资，保证在最重要的日子也投资，尽管由此付出的代价是本该远离股市的那些日子也在场。这两种办法无论哪一种实施起来都有一定的难度，但这就是金融市场的分形几何。